đề thi toán 8

Thứ sáu - 27/09/2019 12:17
HSG oán 8t
ĐỀ THI KS HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG  Môn Toán  8
– Năm học 2018-2019


Bài 1 Phân tích các đa thức thành nhân tử:
1) 18x3 -
2)  a(a + 2b)3 - b(2a + b)3
3) (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5)
Bài 2Cho biểu thức: A =
a) Tìm ĐK của x để giá trị của biểu thức A được xác định.      b) Rút gọn A
Bài 3: Cho a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn: ab + bc + ca = 1.
Tính: M =
Bài 4 a) CMR  :Nếu  và  a + b + c = abc thì ta có
b) Tìm x, y biết: 7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y  + 21 = 0
Bài 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x2 + 3x + 4)2
Bài 6Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của cạnh AD, BC. Đường chéo AC cắt đường chéo BD tại O và các đoạn BE, DF lần lượt tại P, Q.
1) Chứng minh rằng: P là trọng tâm của tam giác ABD.
2) Chứng minh rằng: AP = PQ = QC.
3) Lấy M bất kỳ thuộc đoạn DC. Gọi I, K theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua tâm E, F. Chứng minh rằng I, K thuộc đường thẳng AB.
4) Chứng minh: AI + AK không đổi khi M thuộc đường thẳng AB.





ĐÁP ÁN

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG CẤP TRƯỜNGNĂM HỌC 2017-2018      
Môn: Toán Lớp 8
 
Bài Câu Nội dung Biểu điểm  
1 1 18x3 -  = 2x 0,5  
0,5  
2 a(a + 2b)3 - b(2a + b)3
= a[(a + b) + b]3 - b[a + (a + b)]3
= a[(a + b)3 + 3(a + b)2b + 3(a + b)b2 + b3] - b[a3 + 3a2(a + b) +
                    + 3a(a + b)2 + (a + b)3
= a(a + b)3 + 3ab(a + b)2 + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) –
                   - 3ab(a + b)2 - b(a + b)3
= a(a + b)3 + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) - b(a + b)3
= (a + b)[a(a + b)2 + 3ab2 -ab(a - b) - 3a2b -b(a + b)2]
0,5  
= (a + b)(a3 + 2a2b + ab2 + 3ab2 - a2b + ab2 - 3a2b - a2b - 2ab2 - b3]
= (a + b) (a3 - 3a2b + 3ab2 - b3)= (a + b)(a - b)3
0,5  
3 Đặt A = (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5)
A = (x – 2)(x – 5)(x – 4)(x – 5) + 1= (x2 – 7x + 10)(x2 – 7x + 12) + 1
= (x2 – 7x + 11 – 1)(x2 – 7x + 11 + 1) + 1
= (x2 – 7x + 11)2 – 1 + 1= (x2 – 7x + 11)2
1,0  
     
2 1 a) Giá trị của biểu thức A được xác định với điều kiện:
0,5  
  2 Với , ta có:
A =
= = = 4
1,0  
  0,5  
3 1 Ta có:
    1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(c + a)
0,5  
Tương tự: 1 + b2 = (b + a)(b + c) và 1 + c2 = (c + a)(c + b) 0,5  
Do đó: A = 0,5  
     
   
   
   
4   Theo gt:  nên a , b 0, c 0    
Ta có:      
 Vì   a + b + c = abc  (gt) nên
 ( đpcm)
 
   
   
   
2 7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y  + 21 = 0
 y2 + 4xy – 6y + 7x2 – 24x + 21 = 0
 y2 + 2y(2x – 3) + (2x – 3)2 + 3x2 – 12x + 12 = 0
 (y + 2x – 3)2 + 3(x2 – 4x + 4) = 0
 (y + 2x – 3)2 + 3(x – 2)2 = 0
0,5  
 (vì (y + 2x – 3)2  0 và 3(x – 2)2  0) 0,5  
 . Vậy x = 2; y = -1 0,5  
5    
   
   
   
   
2 Ta có:  A = x2 + 3x + 4 = x2 + 2x. = 0,25  
Với mọi x, ta có: > 0    
0,25  
Dấu “=” xảy ra khi 0,5  
Vậy minA = 12,25 khi x = - 0,5  
6   1  
1 Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi đường. 0,5  
Ta có: AO, BE là trung tuyến của ABD
Mà: AO cắt BE tại P nên P là trọng tâm của ABD .
0,5  
2 Theo câu 1) P là là trọng tâm của ABD
Tương tự, ta có:
Do đó: PQ = AC – AP – CQ =
Vậy AP = PQ = QC

0,5


0,5
 
3 Vì I đối xứng với M qua E nên EI = EM
Ta có:  AE = ED, EI = EM  AMDI là hình bình hành
 AI // MD  (1)
Chứng minh tương tự, ta có: BK // MC       (2)
Từ (1), (2) và (3) suy ra I, A, B, K thẳng hàng hay I, K thuộc đường thẳng AB.

0,5

0,5
 
4 KMI có E, F lần lượt là trung điểm của MI, MK
 EF là đường trung bình của KMI
 KI = 2.EF
Suy ra AI + AK = IK = 2.EF     (4)
BF // AE và AF = AE  Tứ giác ABFE là hình bình hành
 EF = AB                                (5)
Từ (4) và (5) suy ra: AI + AK = 2.AB không đổi khi M di động trên cạnh CD.


0,5


0,5
 
           
Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa

ĐỀ THI KS HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG  Môn Toán  8
– Năm học 2018-2019


Bài 1 Phân tích các đa thức thành nhân tử:
1) 18x3 -
2)  a(a + 2b)3 - b(2a + b)3
3) (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5)
Bài 2Cho biểu thức: A =
a) Tìm ĐK của x để giá trị của biểu thức A được xác định.      b) Rút gọn A
Bài 3: Cho a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn: ab + bc + ca = 1.
Tính: M =
Bài 4 a) CMR  :Nếu  và  a + b + c = abc thì ta có
b) Tìm x, y biết: 7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y  + 21 = 0
Bài 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x2 + 3x + 4)2
Bài 6Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của cạnh AD, BC. Đường chéo AC cắt đường chéo BD tại O và các đoạn BE, DF lần lượt tại P, Q.
1) Chứng minh rằng: P là trọng tâm của tam giác ABD.
2) Chứng minh rằng: AP = PQ = QC.
3) Lấy M bất kỳ thuộc đoạn DC. Gọi I, K theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua tâm E, F. Chứng minh rằng I, K thuộc đường thẳng AB.
4) Chứng minh: AI + AK không đổi khi M thuộc đường thẳng AB.





ĐÁP ÁN

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG CẤP TRƯỜNGNĂM HỌC 2017-2018      
Môn: Toán Lớp 8
 
Bài Câu Nội dung Biểu điểm  
1 1 18x3 -  = 2x 0,5  
0,5  
2 a(a + 2b)3 - b(2a + b)3
= a[(a + b) + b]3 - b[a + (a + b)]3
= a[(a + b)3 + 3(a + b)2b + 3(a + b)b2 + b3] - b[a3 + 3a2(a + b) +
                    + 3a(a + b)2 + (a + b)3
= a(a + b)3 + 3ab(a + b)2 + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) –
                   - 3ab(a + b)2 - b(a + b)3
= a(a + b)3 + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) - b(a + b)3
= (a + b)[a(a + b)2 + 3ab2 -ab(a - b) - 3a2b -b(a + b)2]
0,5  
= (a + b)(a3 + 2a2b + ab2 + 3ab2 - a2b + ab2 - 3a2b - a2b - 2ab2 - b3]
= (a + b) (a3 - 3a2b + 3ab2 - b3)= (a + b)(a - b)3
0,5  
3 Đặt A = (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5)
A = (x – 2)(x – 5)(x – 4)(x – 5) + 1= (x2 – 7x + 10)(x2 – 7x + 12) + 1
= (x2 – 7x + 11 – 1)(x2 – 7x + 11 + 1) + 1
= (x2 – 7x + 11)2 – 1 + 1= (x2 – 7x + 11)2
1,0  
     
2 1 a) Giá trị của biểu thức A được xác định với điều kiện:
0,5  
  2 Với , ta có:
A =
= = = 4
1,0  
  0,5  
3 1 Ta có:
    1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(c + a)
0,5  
Tương tự: 1 + b2 = (b + a)(b + c) và 1 + c2 = (c + a)(c + b) 0,5  
Do đó: A = 0,5  
     
   
   
   
4   Theo gt:  nên a , b 0, c 0    
Ta có:      
 Vì   a + b + c = abc  (gt) nên
 ( đpcm)
 
   
   
   
2 7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y  + 21 = 0
 y2 + 4xy – 6y + 7x2 – 24x + 21 = 0
 y2 + 2y(2x – 3) + (2x – 3)2 + 3x2 – 12x + 12 = 0
 (y + 2x – 3)2 + 3(x2 – 4x + 4) = 0
 (y + 2x – 3)2 + 3(x – 2)2 = 0
0,5  
 (vì (y + 2x – 3)2  0 và 3(x – 2)2  0) 0,5  
 . Vậy x = 2; y = -1 0,5  
5    
   
   
   
   
2 Ta có:  A = x2 + 3x + 4 = x2 + 2x. = 0,25  
Với mọi x, ta có: > 0    
0,25  
Dấu “=” xảy ra khi 0,5  
Vậy minA = 12,25 khi x = - 0,5  
6   1  
1 Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi đường. 0,5  
Ta có: AO, BE là trung tuyến của ABD
Mà: AO cắt BE tại P nên P là trọng tâm của ABD .
0,5  
2 Theo câu 1) P là là trọng tâm của ABD
Tương tự, ta có:
Do đó: PQ = AC – AP – CQ =
Vậy AP = PQ = QC

0,5


0,5
 
3 Vì I đối xứng với M qua E nên EI = EM
Ta có:  AE = ED, EI = EM  AMDI là hình bình hành
 AI // MD  (1)
Chứng minh tương tự, ta có: BK // MC       (2)
Từ (1), (2) và (3) suy ra I, A, B, K thẳng hàng hay I, K thuộc đường thẳng AB.

0,5

0,5
 
4 KMI có E, F lần lượt là trung điểm của MI, MK
 EF là đường trung bình của KMI
 KI = 2.EF
Suy ra AI + AK = IK = 2.EF     (4)
BF // AE và AF = AE  Tứ giác ABFE là hình bình hành
 EF = AB                                (5)
Từ (4) và (5) suy ra: AI + AK = 2.AB không đổi khi M di động trên cạnh CD.


0,5


0,5
 
           
Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa

 

Tác giả bài viết: Đào Thị Ánh

Nguồn tin: st

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Theo dòng sự kiện

Xem tiếp...

Những tin mới hơn

Những tin cũ hơn

Quảng cáo 1
Quảng cáo 2
Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây